Chứng minh bằng lùi vô hạn

Chứng minh thường được dùng cho tính vô tỉ của √3 sử dụng phương pháp lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này có thể được áp dụng cho bất kì số nguyên nào không phải là số chính phương.

1. Giả sử √3 là một số hữu tỉ, tức √3 có thể viết dưới dạng một phân số tối giản a/b, trong đó a và b nguyên tố cùng nhau.
2. Ta suy ra a2/b2 = 3 hay a2 = 3b2.   (a2 và b2 là các số nguyên)
3. Do đó a2 chia hết cho 3, nên a cũng chia hết cho 3, tức tồn tại số nguyên k sao cho a = 3k.
4. Thay 3k cho a trong đẳng thức ở bước 2: 3b2 = (3k)2 ta được b2 = 3k2.
5. Lập luận như bước 3, ta được b2 là số chia hết cho 3, nên b cũng chia hết cho 3.
6. Như vậy cả a và b đều chia hết cho 3, nên chúng có một ước chung là 3, trái với giả thiết rằng a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh bằng định lý nghiệm hữu tỉ

Một chứng minh khác cho tính vô tỉ của √3 là sử dụng một trường hợp đặc biệt của định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu P(x) là một đa thức monic (tức đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng 1) với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của P(x) cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức P(x) = x2 − 2, ta suy ra √3 hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó không là một số nguyên, do đó √3 là một số vô tỉ.